ChessPro online

Забавные задачки и головоломки

вернуться в форум

30.09.2007 | 20:54:28

Главная  -  Поговорим?  -  Наука

302

Однодворец

29.11.2008 | 03:56:08

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Sad_Donkey: Да, конечно... Я бы сказал: "форму полушария" и добавил что-нибудь относительно радиуса этого полушария... Задачка - простая; хотелось "поддержать жизнь" в этой теме...


Это закон Берга для полярных животных - уменьшение поверхности тела, для снижения охлаждаемости (квадрат) при увеличении объема, то есть запасов внутреннего тепла (куб). Поэтому все мишки такие круглые, с короткими ушами, лапами, и больше своих среднеширотных родственников.
номер сообщения: 49-2-1355

303

Roger

29.11.2008 | 04:04:28

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Sad_Donkey:
Roger: PS Лучше всего придать ему форму жёлтой подводной лодки с полусферической рубкой.

Да, конечно...
Я бы сказал: "форму полушария" и добавил что-нибудь относительно радиуса этого полушария...
Задачка - простая;

Радиус однозначно задаётся избыточным объёмом и требованием полусферичности. Однако ж задача не так проста, как кажется с первого взгляда. Дело в том, что жёлтая подводная лодка без балласта будет находиться в состоянии неустойчивого равновесия, и плавание её будет напоминать поведение дохлого карася. Очевидное решение - три рубки на погружённой платформе - увеличивают площадь поверхности в корень третьей степени из 3 раз по сравнению в первоначальным решением. Кто придумает лучше?

Sad_Donkey: хотелось "поддержать жизнь" в этой теме...

Давайте я для поддержания жизни сдамся про 7 мудрецов - что-то не складывается решение. Я уже даже пробовал спать в пробках - всё равно не помогает.
номер сообщения: 49-2-1356

304

Sad_Donkey

КМС

29.11.2008 | 11:57:03

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Однодворец:Это закон Берга для полярных животных - уменьшение поверхности тела, для снижения охлаждаемости (квадрат) при увеличении объема, то есть запасов внутреннего тепла (куб). Поэтому все мишки такие круглые, с короткими ушами, лапами, и больше своих среднеширотных родственников.


Вы мне напомнили. Когда учился на мех-мате, Николай Владимирович Ефимов как-то на лекции рассказал, что прочитал в одной книге такую фразу: "Для синих китов число пи равняется, примерно, 3,14..."

__________________________
Требуйте долива пива после отстоя пены
номер сообщения: 49-2-1357

305

Romus33

30.11.2008 | 16:26:10

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK: Интересная задачка (спасибо Romus33)



Не за что , а как решали, если не секрет ...
номер сообщения: 49-2-1358

306

MikhailK

1 разряд

30.11.2008 | 17:05:52
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Romus33:
MikhailK: Интересная задачка (спасибо Romus33)



Не за что , а как решали, если не секрет ...

Задачу решал следующим образом. Сначала пытался найти ответ на первый дополнительный вопрос

Какова форма петли на конусе? Можно ли эту кривую просто описать?

Проще даже искать ответ на более общий вопрос. Какова форма натянутой нити обвивающей конус? Ответ оказался очень простым и интуитивно понятным - линия, образуемая натянутой нитью на поверхности конуса, является геодезической. Кстати, отсюда сразу выписывается ответ и на второй дополнительный вопрос
Можно ли написать функционал, минимизация которого даёт уравнение на форму кривой?

Да и сама задача становится тривиальной. Достаточно нарисовать развертку конуса и посмотреть на устройство геодезических на конусе (прямых линий на развертке). В результате получаем, что развертка критического конуса будет совпадать с полуплоскостью, а следовательно угол при вершине будет равен 60 градусам.
номер сообщения: 49-2-1359

307

Однодворец

30.11.2008 | 18:28:21

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Sad_Donkey: Вы мне напомнили. Когда учился на мех-мате, Николай Владимирович Ефимов как-то на лекции рассказал, что прочитал в одной книге такую фразу: "Для синих китов число пи равняется, примерно, 3,14..."


Значит, кто-то измерил?
номер сообщения: 49-2-1360

308

MikhailK

1 разряд

30.11.2008 | 20:29:29
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Однодворец:
Sad_Donkey: Вы мне напомнили. Когда учился на мех-мате, Николай Владимирович Ефимов как-то на лекции рассказал, что прочитал в одной книге такую фразу: "Для синих китов число пи равняется, примерно, 3,14..."


Значит, кто-то измерил?

Всё не так!!

К вопросу об изменении величины "эскимосского пи" в открытом море.

В изданном в середине 60х годов "Карманном справочнике китобоя" имелась, среди прочего, формула рассчета объема туши кита. В качестве геометрической модели туши были приняты соединенные основаниями конус и полусфера, далее следовала инструкция по обмеру кита и формула объема, к которой имелась сноска:

*Пи - для гренландских китов приближенно равно 3,14.
номер сообщения: 49-2-1361

309

MikhailK

1 разряд

30.11.2008 | 20:59:39
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Кстати, много замечательных и смешных математических (и не только) анекдотов собрано тут

Красный Солитон - Анекдоты для матфизоидов и программатиков

Иногда встречаются просто шедевры.
номер сообщения: 49-2-1362

310

Romus33

01.12.2008 | 04:15:24

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK:
Romus33:
MikhailK: Интересная задачка (спасибо Romus33)



Не за что , а как решали, если не секрет ...

Задачу решал следующим образом. Сначала пытался найти ответ на первый дополнительный вопрос

Какова форма петли на конусе? Можно ли эту кривую просто описать?

Проще даже искать ответ на более общий вопрос. Какова форма натянутой нити обвивающей конус? Ответ оказался очень простым и интуитивно понятным - линия, образуемая натянутой нитью на поверхности конуса, является геодезической. Кстати, отсюда сразу выписывается ответ и на второй дополнительный вопрос
Можно ли написать функционал, минимизация которого даёт уравнение на форму кривой?

Да и сама задача становится тривиальной. Достаточно нарисовать развертку конуса и посмотреть на устройство геодезических на конусе (прямых линий на развертке). В результате получаем, что развертка критического конуса будет совпадать с полуплоскостью, а следовательно угол при вершине будет равен 60 градусам.


Аналогично :)
номер сообщения: 49-2-1363

311

iourique

19.12.2008 | 06:56:23

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique: Вот еще задачка на коллективную информацию: есть три мудреца и неограниченное количество белых и черных колпаков. На мудрецов надевают колпаки, так что они видят колпаки других, но не свой колпак. После этого каждый из них записывает на бумажку одно из трех слов: "белый", "черный", или "пас". Мудрецы выигрывают, если хоты бы один из них угадал цвет своего колпака и ни один не ошибся и проигрывают во всех остальных случаях (3 паса - тоже проигрыш). О стратегии можно договориться заранее, после этого любой обмен информацией запрещен. Какова правильная стратегия? Вероятность выигрыша? Что если мудрецов семь?


Сегодня решил взяться и додумать задачку до конца. Напишу ответ, сжато, чтоб позагадочнее было.

1. Распределение колпаков удобно записывать в виде строки из нулей и единиц.

2. Поиск оптимальной стратегии для n мудрецов - то же, что нахождение минимального набора строк длины n из нулей и единиц, обладающего тем свойством, что любая строка, не входящая в набор, может быть превращена в одну из строк набора заменой одной позиции. Стратегия по набору строится так: каждый мудрец смотрит, получится ли строка из набора, если на нем надет колпак какого-то цвета, и, если так, записывает противоположный цвет. Иначе - пасует. При этом строки набора - проигрышные конфигурации, все остальные - выигрышные.

3. Поскольку строка заменой одной из позиций может быть превращена в n других, проигрышных позиций не меньше, чем 2^n/(n+1). Эта оценка точна, когда n = 2^k - 1, что доказывается индукционным построением набора.

4. Доказательство. k=1, n=1, 1 проигрышная позиция (0).
Пусть доказано для k и {а_1,...,а_s} - набор проигрышных строк длины 2^k - 1 (s = 2^(2^k - k - 1)). Тогда проигрышный набор строк длины 2^(k+1) - 1 строится так: (b, sum(b), b+a_r), где b пробегает всевозможные строки длины 2^k - 1, r бежит от 1 до s, sum(b) - сумма элементов b по модулю 2, и сложение b+a_r - тоже по модулю 2. Доказательство оставляю в качестве упражнения . Иллюстрация для k = 2. Из проигрышной позиции 0 длины 1 производятся две проигрышные позиции длины 3 - (0,0,0) и (1,1,1).

5. Финальное замечание: задача двойственна задаче о построение кодов, исправляющих ошибки. Там надо для поместить в n-мерный куб максимальное число непересекающихся сфер радиуса 1, здесь - покрыть куб наименьшим количеством таких сфер.
номер сообщения: 49-2-1385

312

Sad_Donkey

КМС

19.12.2008 | 17:12:21

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK:
Однодворец:
Sad_Donkey: Вы мне напомнили. Когда учился на мех-мате, Николай Владимирович Ефимов как-то на лекции рассказал, что прочитал в одной книге такую фразу: "Для синих китов число пи равняется, примерно, 3,14..."


Значит, кто-то измерил?

Всё не так!!

К вопросу об изменении величины "эскимосского пи" в открытом море.

В изданном в середине 60х годов "Карманном справочнике китобоя" имелась, среди прочего, формула рассчета объема туши кита. В качестве геометрической модели туши были приняты соединенные основаниями конус и полусфера, далее следовала инструкция по обмеру кита и формула объема, к которой имелась сноска:

*Пи - для гренландских китов приближенно равно 3,14.


Да, "все не так"!

Во-первых, не "примерно", а "приближенно".
Во-вторых, не для "синих", а для "гренландских".

Это в корне меняет дело - проврался я в конец!.. Простите, если можете...

__________________________
Требуйте долива пива после отстоя пены
номер сообщения: 49-2-1386

313

MikhailK

1 разряд

20.12.2008 | 23:06:42
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique:
Сегодня решил взяться и додумать задачку до конца. Напишу ответ, сжато, чтоб позагадочнее было.


Спасибо. Мне такой стиль изложения нравится. Попробую осмыслить эту задачу снова на днях.
номер сообщения: 49-2-1387

314

Grigoriy

25.12.2008 | 06:46:00

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Простенькая задачка. АВСD - описанная трапеция, Е - точка пересечения диагоналей.r1,r2,r3,r4 - радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABE, BCE, CDE, DAE соответственно. Доказать, что
1/r1 +1/r3 = 1/r2 + 1/r4.
Задача, как я сказал, совсем простая, но я решал долго(потому что в уме), и в конце остановился, потому что не мог вслепую увидеть одну забавную вещь. Собственно и пощу, чтобы обратить внимание, что там есть нечто забавное :-)
номер сообщения: 49-2-1408

315

MikhailK

1 разряд

29.12.2008 | 11:55:39
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Grigoriy: Простенькая задачка. АВСD - описанная трапеция, Е - точка пересечения диагоналей.r1,r2,r3,r4 - радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABE, BCE, CDE, DAE соответственно. Доказать, что
1/r1 +1/r3 = 1/r2 + 1/r4.
Задача, как я сказал, совсем простая, но я решал долго(потому что в уме), и в конце остановился, потому что не мог вслепую увидеть одну забавную вещь. Собственно и пощу, чтобы обратить внимание, что там есть нечто забавное :-)


Спасибо Grigoriy. Задачу решил. Исписал около 8 листов в поисках решения.
номер сообщения: 49-2-1429

316

Quantrinas

Любитель
НН / R

29.12.2008 | 12:06:25

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK: Спасибо Grigoriy. Задачу решил. Исписал около 8 листов в поисках решения.

Михаил, надеюсь, на работу время остаётся.


__________________________
Audiatur et altera pars
номер сообщения: 49-2-1431

317

Mikhail_Golubev

мы сами не местные...
detiarbata.livejournal.com

29.12.2008 | 12:08:49
Сайт

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
У меня впечатление (возможно, ошибочное), что слова "трапеция" не слышал со школы.


__________________________
А теперь наш экипаж прощается с вами.
номер сообщения: 49-2-1432

318

MikhailK

1 разряд

29.12.2008 | 12:09:32
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Quantrinas:
MikhailK: Спасибо Grigoriy. Задачу решил. Исписал около 8 листов в поисках решения.

Михаил, надеюсь, на работу время остаётся.


Потратил вчера около получаса и исписал 6 листов. Ухватил основную идею доказательства, но не хватало последнего кирпичика. Сегодня за 10 минут добил таки задачу.

PS После мучений с подобными задачами у меня складывается впечатление, что в науку я попал в силу какого-то недоразумения.
номер сообщения: 49-2-1433

319

Quantrinas

Любитель
НН / R

29.12.2008 | 12:45:13

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK:
После мучений с подобными задачами у меня складывается впечатление, что в науку я попал в силу какого-то недоразумения.

Не всё так просто. Далеко не все победители олимпиад становятся хорошими учёными. С другой стороны, хорошие учёные, как правило, неплохо решали олимпиадные задачки детстве. Но научный способ мышления требует другого подхода. По этому поводу Ландау говорил "Я не изобретатель".

__________________________
Audiatur et altera pars
номер сообщения: 49-2-1435

320

MikhailK

1 разряд

29.12.2008 | 18:00:48
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
По наводке недавнего выпуска Троицкого варианта

Научная статья о том как правильно вытаскивать пробку из бутылки

The stress field in a pulled cork and some subtle points in the semi-inverse method of nonlinear elasticity
Riccardo De Pascalis, Michel Destrade (LMM), Giuseppe Saccomandi

Вот их основной результат, полюбуйтесь

номер сообщения: 49-2-1439

321

Grigoriy

29.12.2008 | 22:07:42

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Михалик, Вы видимо забыли фундаментальный и элементарный факт - у описанного 4-угольника суммы противоположных сторон равны - потому и решали так долго :-) Нужны ещё 2 факта - но Вы их думаю помнили - 2 выражения для площади треугольника:
1. S = Pr/2 и (P - периметр, r - радиус вписанной окружности)
2 Площадь треугольника - полупроизведение смежных сторон на синус угла между ними.
Далее 2-ки опускаю. 1 3 - треугольники примыкающие к основаниям, 2 и 4 - к боковым сторонам.Легко видеть, что 1 и 3 - подобны , пусть t - коэффициент гомотетии. Понятно, что S2 = S4 = S(скажем, из рассмотрения обоих в паре с 1 - одна сторона общая, отношение других в обоих случаях t, синусы пополнительных углов одинaковы.)
Т е получаем, что 1/r2 + 1/r4 = (P2 + P4)/S
Площади 1 и 3 будут S/t и S*t, t e

1/r1 + 1/r3 = (P1*t + P3/t)/S

A нужно, чтобы в числителе появилось Р1 + Р3, равное очевидно Р2+Р4. А как?! Вот это я вслепую долго не мог увидеть. А дело то в том, что просто P1*t = Р3, а P3/t = Р1.
Вот тут мне и забавно - Р1 и Р3 поменялись местами :-)
номер сообщения: 49-2-1440

322

Quantrinas

Любитель
НН / R

29.12.2008 | 23:18:50

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK:
Вот их основной результат, полюбуйтесь


Гм, тянет на антинобеля!


__________________________
Audiatur et altera pars
номер сообщения: 49-2-1442

323

Grigoriy

01.01.2009 | 04:39:44

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
http://www.mccme.ru/edu/statii/Manin-13N.pdf
Чрезвычайно интересная статья Манина. :-) Начинается с милой оговорки, потом рассказвает много интересного(но, чёрт побери, "Бурбаков" меня коробит). И самое интересное - он в корне поменял мировозрение - стал платоником. Раньше то у него было "гильбертовы пр-ва видимо существуют постольку, поскольку мы о них говорим". Прозрел товарищ :-)
номер сообщения: 49-2-1472

324

Quantrinas

Любитель
НН / R

01.01.2009 | 16:59:47

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Grigoriy: http://www.mccme.ru/edu/statii/Manin-13N.pdf
Чрезвычайно интересная статья Манина. :-)

Спасибо, мне очень понравилось. Особенно как он о физиках пишет.


__________________________
Audiatur et altera pars
номер сообщения: 49-2-1474

325

Крыс

одноглазый любитель

01.01.2009 | 20:15:01

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Quantrinas:
Grigoriy: http://www.mccme.ru/edu/statii/Manin-13N.pdf
Чрезвычайно интересная статья Манина. :-)

Спасибо, мне очень понравилось. Особенно как он о физиках пишет.

Присоединяюсь. Статья весьма интересная и толковая.


__________________________
бэз примэчаний
номер сообщения: 49-2-1475

326

iourique

08.01.2009 | 23:54:06

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique:Сегодня решил взяться и додумать задачку до конца. Напишу ответ, сжато, чтоб позагадочнее было.


Кто о чем, а вшивый о бане... Почитал сегодня про код Хэмминга. Выяснилось, что наилучшая стратегия для 2^n - 1 мудрецов проста до безобразия. Сначалы мудрецы нумеруются от 1 до 2^n - 1. После того как колпаки надеты, каждый складывает числа тех из других мудрецов, на ком надеты черные колпаки. Складывает в двоичной системе поразрядно, без переносов. Если получается 0, он говорит "черный". Если получается его число - говорит "белый". Иначе - молчит. И всех делов.
номер сообщения: 49-2-1477

327

iourique

09.01.2009 | 00:05:12

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Grigoriy: http://www.mccme.ru/edu/statii/Manin-13N.pdf
Чрезвычайно интересная статья Манина. :-) Начинается с милой оговорки, потом рассказвает много интересного(но, чёрт побери, "Бурбаков" меня коробит). И самое интересное - он в корне поменял мировозрение - стал платоником. Раньше то у него было "гильбертовы пр-ва видимо существуют постольку, поскольку мы о них говорим". Прозрел товарищ :-)


Забавная статья.

Любопытно - мой научный руководитель очень ругался на Манина за его любовь к формализму. Причем, говорил, ладно сам Манин, он все понимает, а вот некоторые из его учеников только умные слова говорить горазды .
номер сообщения: 49-2-1478

328

Roger

09.01.2009 | 04:15:10

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique: Почитал сегодня про коды Хэммонда.

Я знаю только код Хэмминга.
номер сообщения: 49-2-1479

329

iourique

09.01.2009 | 05:49:05

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Roger:
iourique: Почитал сегодня про коды Хэммонда.

Я знаю только код Хэмминга.

виноват, исправился
номер сообщения: 49-2-1480

330

MikhailK

1 разряд

09.01.2009 | 09:16:58
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Grigoriy: Простенькая задачка. АВСD - описанная трапеция, Е - точка пересечения диагоналей.r1,r2,r3,r4 - радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABE, BCE, CDE, DAE соответственно. Доказать, что
1/r1 +1/r3 = 1/r2 + 1/r4.
Задача, как я сказал, совсем простая, но я решал долго(потому что в уме), и в конце остановился, потому что не мог вслепую увидеть одну забавную вещь. Собственно и пощу, чтобы обратить внимание, что там есть нечто забавное :-)


Интересно, можно ли эту задачку обобщить на произвольный описанный четырехугольник? Ясно, что в ответ войдет дополнительный параметр, характеризующий нетрапецивидность четырехугольника.
номер сообщения: 49-2-1481

331

Roger

09.01.2009 | 09:57:21

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique:
iourique:Сегодня решил взяться и додумать задачку до конца. Напишу ответ, сжато, чтоб позагадочнее было.


Кто о чем, а вшивый о бане... Почитал сегодня про код Хэмминга. Выяснилось, что наилучшая стратегия для 2^n - 1 мудрецов проста до безобразия. Сначалы мудрецы нумеруются от 1 до 2^n - 1. После того как колпаки надеты, каждый складывает числа тех из других мудрецов, на ком надеты черные колпаки. Складывает в двоичной системе поразрядно, без переносов. Если получается 0, он говорит "черный". Если получается его число - говорит "белый". Иначе - молчит. И всех делов.

Красиво, а главное, понятно.
номер сообщения: 49-2-1482