|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
Тьфу! Нашёл ответ Яндексом и выругался. Эта идея мне пришла в голову довольно быстро, но я её отбросил вот по какой причине:
"справа на конце д б ноль, а ведь произведение чисел слева не оканчивается нулём". Довольно типичный глюк :-( |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2532 |
|
|
|
|
| Минут 15 думал и все-таки решил. Красиво. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2533 |
|
|
|
|
MikhailK:Рассмотрим треугольник произвольный ABC, тогда найдется внутри него такая точка M, что периметры треугольников ABM, ACM, BCM будут равны. Можно ли эту точку М найти с помощью циркуля и линейки.
С наскоку у меня что-то ничего не получается. |
Так, появилось продвижение. Я попытался выразить периметр малых треугольников в терминах длин сторон большого треугольника. Из моего вывода следовало, что получается, вообще говоря, уравнение очень большого порядка. Но когда я все это засунул в Maple (математический пакет символьных вычислений), то оказалось, что все сводится к квадратному уравнению. Выходит, что искомую точку можно построить циркулем! |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2534 |
|
|
|
|
Вспомнил такую задачку, из IBMовских. Предположим, что у вас есть n приборов, из них один - бракованный. Есть так же тестирующее устройство, к которому можно подключить несколько приборов, и оно сообщит, есть ли среди них бракованные. Очевидно, оптимальный поиск бракованного прибора требует log n проверок (логарифм - двоичный).
Усложнение: тестирующее устройство иногда ошибается. При этом оно никогда не дает ложный сигнал, но если среди подключенных приборов есть бракованный, оно сообщает нам об этом только в половине случаев (то бишь, с вероятностью 0.5). Каков оптимальный алгоритм теперь?
Несколько стратегий для затравки:
1. На каждом шаге случайным образом выбирается и проверяется половина подозрительных приборов (вначале все приборы - подозрительные). Время работы такого алгоритма - 4 log n, так как каждое уполовинивание в среднем требует 4 проверок.
2. А что если выбирать не половину, а какую-нибудь другую фиксированную долю?
3. А что если выбирать половину не случайно, а разбить на две группы и проверять их поочередно?
4. А что если разбивать не на две группы?
5. ?
Я, кстати, предложенного авторами решения до конца так и не понял... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2564 |
|
|
|
|
| iourique: Неисправный пиксель ...) |
Начал учит внучку что такое ... и решил задачку. Настоящий зтюд - с поантой!  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2565 |
|
|
|
|
| Persona: Минут 15 думал и все-таки решил. Красиво. |
Я тоже минут 15 просидел. Но так ничего и не придумал.
А тут, как раз, жена мимо проходила, остановилась секунд на 10 и решила! |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2566 |
|
|
|
|
А я уже вторую неделю думаю над треугольниками, но ничего путного в голову не приходит. Формальное решение конечно есть, но хочется узнать больше. Какими ещё свойствами обладает эта точка M в треугольнике и почему её можно найти одним циркулем? Непонятно...
Тут ещё iourique с IBMовской задачей, совсем голова кругом идет.
PS Мне эту задачу подарили с комментарием, что её задают при приеме на работу в Google. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2567 |
|
|
|
|
| MikhailK: А я уже вторую неделю думаю над треугольниками, но ничего путного в голову не приходит. Формальное решение конечно есть, но хочется узнать больше. Какими ещё свойствами обладает эта точка M в треугольнике и почему её можно найти одним циркулем? |
Я тоже уже неделю маюсь, но мне перестало казаться, что в этой точке есть что-нибудь особенно ценное. Уж слишком страшные решения получаются. Там в условии часом не было слова "прямоугольный"  ? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2568 |
|
|
|
|
iourique: | MikhailK: А я уже вторую неделю думаю над треугольниками, но ничего путного в голову не приходит. Формальное решение конечно есть, но хочется узнать больше. Какими ещё свойствами обладает эта точка M в треугольнике и почему её можно найти одним циркулем? |
Я тоже уже неделю маюсь, но мне перестало казаться, что в этой точке есть что-нибудь особенно ценное. Уж слишком страшные решения получаются. Там в условии часом не было слова "прямоугольный" ? |
Нет, ничего такого не знаю.
Григорий выше обронил
Grigoriy: Видимо можно. Разность это гипербола, а пересечение 2-х гипербол алгебраически ничем не должно вроде бы отличаться от пересечения 2-х кругов.
Но вот конкретное построение .. :-) |
Действительно ли точки пересечения двух кривых второго порядка можно построить циркулем, если задано расположение фокусов этих кривых? Мне это так сразу не очевидно.
Если это так, то похоже, что никакого чуда в точке M нет. А если пересечение двух кривых второго порядка построить нельзя, то возможность построения точки M является неким чудом. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2569 |
|
|
|
|
MikhailK:
Григорий выше обронил
Grigoriy: Видимо можно. Разность это гипербола, а пересечение 2-х гипербол алгебраически ничем не должно вроде бы отличаться от пересечения 2-х кругов.
Но вот конкретное построение .. :-) |
Действительно ли точки пересечения двух кривых второго порядка можно построить циркулем, если задано расположение фокусов этих кривых? Мне это так сразу не очевидно.
Если это так, то похоже, что никакого чуда в точке M нет. А если пересечение двух кривых второго порядка построить нельзя, то возможность построения точки M является неким чудом. |
Из надежных источников:
| По традиции, идущей от древних греков, в геометрии обычно рассматриваются построения циркулем и линейкой. Но можно также производить построения с помощью других инструментов, а еще можно, например, рассмотреть построения с помощью лишь одного циркуля без линейки. С помощью одного циркуля, естественно. нельзя построить сразу все точки прямой. Поэтому мы договоримся считать, что прямая построена, если построены две ее точки. Оказывается, что при таком условии с помощью циркуля можно выполнить все построения, которые можно выполнить с помощью циркуля и линейки. |
Так что чуда нет. Все длины в ответе - рациональные комбинации сторон треугольника и его площади. Все это, конечно строится циркулем и линейкой, но ничего красивого в этих комбинациях я не заметил. Мне как-то трудно поверить, что есть какое-нибудь изящное построение. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2570 |
|
|
|
|
| iourique, про теорему Маскерони я в курсе. Как только она поможет ответить на мой вопрос о нахождении точки пересечения двух произвольных гипербол? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2571 |
|
|
|
|
| MikhailK: iourique, про теорему Маскерони я в курсе. Как только она поможет ответить на мой вопрос о нахождении точки пересечения двух произвольных гипербол? |
Да, я, наверно, погорячился: пересечение двух простеньких квадрик, y=x*x и xy=2, циркулем и линейкой не построишь. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2572 |
|
|
|
|
iourique: | MikhailK: iourique, про теорему Маскерони я в курсе. Как только она поможет ответить на мой вопрос о нахождении точки пересечения двух произвольных гипербол? |
Да, я, наверно, погорячился: пересечение двух простеньких квадрик, y=x*x и xy=2, циркулем и линейкой не построишь. |
Как я сам не догадался придумать простой контрпример. Раз так, то я настаиваю - точка M обладает ещё каким-то замечательным свойством, которое мы пока не знаем. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2573 |
|
|
|
|
iourique: | MikhailK: iourique, про теорему Маскерони я в курсе. Как только она поможет ответить на мой вопрос о нахождении точки пересечения двух произвольных гипербол? |
Да, я, наверно, погорячился: пересечение двух простеньких квадрик, y=x*x и xy=2, циркулем и линейкой не построишь. |
Есть решение!
Действительно, точку прересечения двух произвольных гипербол циркулем не найти. Но если эти гиперболы имеют общий фокус, то задача таки решается одним циркулем. Это проще всего заметить, если записать уравнения гипербол в полярных координатах с полюсом расположенным в общем фокусе гипербол. Параметры гипербол (фокусное расстояние и эксцентриситет) элементарно выражаются через стороны исходного треугольника. Задача оказалась не такой уж сложной. Завтра гляну, что конкретно там получается. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2574 |
|
|
|
|
Задачка для Пиррона :-)
В общежитии студенты физмата гоняли блиц. Известно, что состоялось 5 партий "математик против математика" и 12 партий "физик против физика". Известно также, что каждый студент сыграл с математиками на одну партию меньше, чем с физиками. Сколько студентов играло блицпартии? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2618 |
|
|
|
|
Забавно  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2619 |
|
|
|
|
Четырнадцать.
__________________________
Странным образом в человеке возможно сочетание лишь 2 из 3 качеств. Либерализм, ум, честность. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2620 |
|
|
|
|
| Товарищи математики! Куда лезеете?! :-) Задачка для Пиррона( и ему подобных - т е без техники ,но интересующихся умозаключениями), а не для спецов. Серьёзно, для нас - слишком простая, на автомате. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2621 |
|
|
|
|
Grigoriy: Задачка для Пиррона :-)
В общежитии студенты физмата гоняли блиц. Известно, что состоялось 5 партий "математик против математика" и 12 партий "физик против физика". Известно также, что каждый студент сыграл с математиками на одну партию меньше, чем с физиками. Сколько студентов играло блицпартии? |
Да ну вас, Григорий. И это,по-вашему, задача для меня?! Вы вообще представляете себе, что творится в голове у человека, никогда не изучавшего ничего, кроме филологии? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2622 |
|
|
|
|
Ну, если после этого в голове что-то осталось - справитесь :-)
Вот реакция одной филологини(на краткое изложение решения):
"Какая жуткая гадость. Вот ни слова не понимаю. Математику следует запретить, а с уже существующих математиков взять честное слово никогда ее больше не поминать. Дважды не два форэва!" |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2623 |
|
|
|
|
MikhailK: Удалось выменять зачачу с бусинкай на кольце на другую, геометрическую.
Рассмотрим треугольник произвольный ABC, тогда найдется внутри него такая точка M, что периметры треугольников ABM, ACM, BCM будут равны. Можно ли эту точку М найти с помощью циркуля и линейки.
С наскоку у меня что-то ничего не получается. |
Похоже, что я решил. Обозначим периметры треугольников ABM, ACM, BCM через P. Тогда несложно установить, что
AM=P/2 - (AB+BC+AC)/2 + CB
BM=P/2 - (AB+BC+AC)/2 + AC
CM=P/2 - (AB+BC+AC)/2 + AB
Эти равенства удобно переписать в виде
AM=[P/2 - (AB+BC+AC)/2 + min(AB,BC,AC)] + [CB - min(AB,BC,AC)]
BM=[P/2 - (AB+BC+AC)/2 + min(AB,BC,AC)] + [AC - min(AB,BC,AC)]
CM=[P/2 - (AB+BC+AC)/2 + min(AB,BC,AC)] + [AB - min(AB,BC,AC)]
Запись min(AB,BC,AC) означает длину самой короткой стороны в треугольнике ABC. Построим теперь три окружности
1) с центром в точке A и радиусом [CB - min(AB,BC,AC)]
2) с центром в точке B и радиусом [AC - min(AB,BC,AC)]
3) с центром в точке C и радиусом [AB - min(AB,BC,AC)]
Один из радиусов будет равен нулю, но это не принципиально. Построим теперь окружность, которая касается этих трех окружностей (задача Аполлония). Центр построенной окружности и будет точкой М.
Из построения следует, что точки M для треугольников с одним из углов близким к 180 не существует.
PS Что-то меня одолевают сомнения, не прокололся ли я. Действительно ли решение такое простое? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2635 |
|
|
|
|
| MikhailK: PS Что-то меня одолевают сомнения, не прокололся ли я. Действительно ли решение такое простое? |
Действительно .. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2637 |
|
|
|
|
azur: | MikhailK: PS Что-то меня одолевают сомнения, не прокололся ли я. Действительно ли решение такое простое? |
Действительно .. |
И Вы всё это время молчали?  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2638 |
|
|
|
|
Дабы искупить вину, даю задачку, родившуюся совсем недавно на одном из параллельных форумов.
На шахматную доску n x n (возьмем n=2p, т.е. n - четное) ставим слона на любое поле по желанию (для определенности пусть слон будет чернопольным). Слон двигается по диагоналям с поворотом в любом из центров клеток, через которые проходит. Маршрут заканчивается как только пройдены все точки - центры клеток цвета слона.
Вопрос №1: какое минимальное количество M(n) поворотов слону потребуется, чтобы пройти все клетки одного цвета?
Вопрос №2: при минимальном кол-ве поворотов М(n) какой максимальной длины маршрута можно достичь? Единственный ли такой максимальный маршрут (с точностью до симметрии), и если нет, то сколько таких несимметричных маршрутов? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2639 |
|
|
|
|
azur: | MikhailK: PS Что-то меня одолевают сомнения, не прокололся ли я. Действительно ли решение такое простое? |
Действительно .. |
Раз уж я потратил столько времени на эту задачу, то мне захотелось посмотреть литературу по этому вопросу. Пролистав несколько статей я отложил вот эту для более внимательного чтения
Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle
Clark Kimberling
Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 3 (Jun., 1994), pp. 163-187
Желающим могу прислать PDF этой статьи. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2640 |
|
|
|
|
| Перед котом Леопольдом 5 норок. В одной из норок сидит мышка. Кот наугад может запустить 1 лапу в 1 норку. Мышка трусливая - поэтому после каждого раза, когда кот сует лапу она перебегает в соседнюю норку. Может ли кот ее поймать? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2643 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-2644 |
|
|
|
|
azur: Дабы искупить вину, даю задачку, родившуюся совсем недавно на одном из параллельных форумов.
На шахматную доску n x n (возьмем n=2p, т.е. n - четное) ставим слона на любое поле по желанию (для определенности пусть слон будет чернопольным). Слон двигается по диагоналям с поворотом в любом из центров клеток, через которые проходит. Маршрут заканчивается как только пройдены все точки - центры клеток цвета слона.
Вопрос №1: какое минимальное количество M(n) поворотов слону потребуется, чтобы пройти все клетки одного цвета?
Вопрос №2: при минимальном кол-ве поворотов М(n) какой максимальной длины маршрута можно достичь? Единственный ли такой максимальный маршрут (с точностью до симметрии), и если нет, то сколько таких несимметричных маршрутов? |
Пункт 1) несложный - М(2p)= 5(p-1).
Пункт 2) я пока не просек - последовательность 1,11,32 как-то не внушает энтузиазма... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2645 |
|
|
|
|
n=8 M = 15 Lmah=64
Bb8->h2->g1->a7->f2->h4->d8->a5->e1->b4->f8->->a3->c1->h6->g7->a1->Bh8 |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2646 |
|
|
|
|
| iourique: Пункт 2) я пока не просек - последовательность 1,11,32 как-то не внушает энтузиазма... |
Появилась рабочая гипотеза: L(2p) = (11*p*p - 13*p + 4)/2, достижимое p!/2 различными способами.
p.s. доказал. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2647 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2024 гг. |
|
|
|
