ChessPro online

Забавные задачки и головоломки

вернуться в форум

30.09.2007 | 20:54:28

Главная  -  Поговорим?  -  Наука

272

Крыс

одноглазый любитель

07.11.2008 | 16:27:24

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Sad_Donkey: "Яйцеголовые"...
Когда-то, много-много лет назад, сидел я в командировке на озере Балхаш. Ни один сидел, было нас - тьма... интеллектуалов. Понагнали из Москвы, на всякий случай...

Хм... Не иначе как на тамошнем полигоне что-то испытывали? Сиживал (тогда) в тамошней гостинице за интеллектуальными занятиями: катали в преф сутками. Только яйцеголовость была чуть исправлена офицерской фуражкой.

__________________________
бэз примэчаний
номер сообщения: 49-2-1325

273

Quantrinas

Любитель
НН / R

07.11.2008 | 16:37:22

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Крыс: Хм... Не иначе как на тамошнем полигоне что-то испытывали?

ИЗДЕЛИЕ


__________________________
Audiatur et altera pars
номер сообщения: 49-2-1326

274

Sad_Donkey

КМС

07.11.2008 | 16:52:56

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Крыс:
Sad_Donkey: "Яйцеголовые"...
Когда-то, много-много лет назад, сидел я в командировке на озере Балхаш. Ни один сидел, было нас - тьма... интеллектуалов. Понагнали из Москвы, на всякий случай...

Хм... Не иначе как на тамошнем полигоне что-то испытывали? Сиживал (тогда) в тамошней гостинице за интеллектуальными занятиями: катали в преф сутками. Только яйцеголовость была чуть исправлена офицерской фуражкой.


Все там были...

Я, кстати, последний раз - года три назад. После долгого перерыва. Там теперь очень даже все иначе....

__________________________
Требуйте долива пива после отстоя пены
номер сообщения: 49-2-1327

275

iourique

07.11.2008 | 17:28:02

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK: Возвращаясь к задаче о трех мудрецах в черно-белых колпаках. Решение ясно, хотя мне не очевидна его оптимальность. Мне интересен немного другой момент. Может ли кто-нибудь ясно и коротко объяснить, какая информация позволяет мудрецам повысить вероятность успеха до 3/4?


MikhailK, коли уж массовый интерес угас, не грех и ответить. Информация тут ни при чем. Меня тоже сперва смутил тот факт, что каждый мудрец, дающий содержательный ответ, с вероятностью 1/2 ошибается. То есть, после большого числа игр приблизительно половина содержательных ответов будет неверна. Хитрость в том, что для выигрыша достаточно одного правильного ответа, а ошибаться можно (и нужно) хором. Отсюда оптимальность: при 2N содержательных ответов, лучший расклад для мудрецов - это N побед и N/3 поражений. По счастью находится стратегия, позволяющая этот расклад реализовать. Для 7 мудрецов решение надо искать тем же способом, а правильный ответ - 7/8 (при 2N содержательных ответов - N побед и N/7 поражений). А вот скажем для 5 мудрецов стратегии, дающей вероятность 5/6, насколько я понимаю, нет. Лучшее, чего мне удалось достичь - 13/16.
номер сообщения: 49-2-1328

276

iourique

07.11.2008 | 17:35:27

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Sad_Donkey:
MikhailK:
Sad_Donkey: Маленькая забавная задачка.

Выпуклый многоугольник ABCD. Доказать, что его площадь меньше или равна величине:
(AB*CD + BC*DA) / 2

Здорово! Для решения понадобились ножницы.


Да...


Нет что бы сразу написать (AB*BC + CD*DA) / 2 И никаких ножниц не надо.
номер сообщения: 49-2-1329

277

Sad_Donkey

КМС

07.11.2008 | 18:36:54

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique:
Sad_Donkey:
MikhailK:
Sad_Donkey: Маленькая забавная задачка.

Выпуклый многоугольник ABCD. Доказать, что его площадь меньше или равна величине:
(AB*CD + BC*DA) / 2

Здорово! Для решения понадобились ножницы.


Да...


Нет что бы сразу написать (AB*BC + CD*DA) / 2 И никаких ножниц не надо.


А-а-а.....

__________________________
Требуйте долива пива после отстоя пены
номер сообщения: 49-2-1330

278

Roger

07.11.2008 | 18:40:28

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique: MikhailK, коли уж массовый интерес угас, не грех и ответить. Информация тут ни при чем. Меня тоже сперва смутил тот факт, что каждый мудрец, дающий содержательный ответ, с вероятностью 1/2 ошибается. То есть, после большого числа игр приблизительно половина содержательных ответов будет неверна. Хитрость в том, что для выигрыша достаточно одного правильного ответа, а ошибаться можно (и нужно) хором. Отсюда оптимальность: при 2N содержательных ответов, лучший расклад для мудрецов - это N побед и N/3 поражений. По счастью находится стратегия, позволяющая этот расклад реализовать. Для 7 мудрецов решение надо искать тем же способом, а правильный ответ - 7/8 (при 2N содержательных ответов - N побед и N/7 поражений). А вот скажем для 5 мудрецов стратегии, дающей вероятность 5/6, насколько я понимаю, нет. Лучшее, чего мне удалось достичь - 13/16.

iourique, интерес не угас, а ушёл в латентную фазу. В частности, вопрос с максимально возможной (не обязательно достижимой) вероятностью я решил где-то в бэкграунде. Затык в том, что я не смог (пока) сконструировать функцию ответов, дающих для семи мудрецов вероятность победы 7/8 (и вообще лучше 3/4). Прошу Вас повременить ещё с публикацией стратегии.

PS Раньше мне удавалось решать такие задачи во сне, а сейчас, увы, как назло всякая дрянь снится.
PPS В пробках тоже неплохо, но, как назло, пробки в последнее время обходят меня стороной.
номер сообщения: 49-2-1331

279

Крыс

одноглазый любитель

08.11.2008 | 02:25:26

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Roger:
PS Раньше мне удавалось решать такие задачи во сне, а сейчас, увы, как назло всякая дрянь снится.

"....снились какие-то две необыкновенные крысы. Право, этаких я никогда не видывал: черные, неестественной величины! пришли, понюхали — и пошли прочь." (Н.В. Гоголь)


__________________________
бэз примэчаний
номер сообщения: 49-2-1332

280

azur

левый 2506

08.11.2008 | 03:58:29
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique: А вот скажем для 5 мудрецов стратегии, дающей вероятность 5/6, насколько я понимаю, нет. Лучшее, чего мне удалось достичь - 13/16.

26/32 < 5/6, но уже 27/32 > 5/6
так что все не так плохо :-)
номер сообщения: 49-2-1333

281

MikhailK

1 разряд

08.11.2008 | 09:47:45
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Sad_Donkey:
iourique:
Sad_Donkey:
MikhailK:
Sad_Donkey: Маленькая забавная задачка.

Выпуклый многоугольник ABCD. Доказать, что его площадь меньше или равна величине:
(AB*CD + BC*DA) / 2

Здорово! Для решения понадобились ножницы.


Да...


Нет что бы сразу написать (AB*BC + CD*DA) / 2 И никаких ножниц не надо.


А-а-а.....


Попробовал улучшить приведённые выше неравенства. Пусть a, b, c, d - стороны выпуклого четырехугольника, а S - его площадь. Найти наилучшую оценку для площади вида

S =< F(a,b,c,d)

Чем замечателен оптимальный четырехугольник ( S=F(a,b,c,d) ) ?

Добавлено

Как я и ожидал, моя задача имеет древнюю историю. Её решение было опубликовано в 628 году.
номер сообщения: 49-2-1334

282

iourique

09.11.2008 | 04:29:24

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK:
Попробовал улучшить приведённые выше неравенства. Пусть a, b, c, d - стороны выпуклого четырехугольника, а S - его площадь. Найти наилучшую оценку для площади вида

S =< F(a,b,c,d)

Чем замечателен оптимальный четырехугольник ( S=F(a,b,c,d) ) ?


Вписан в окружность.
номер сообщения: 49-2-1335

283

MikhailK

1 разряд

09.11.2008 | 08:13:36
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique:
MikhailK:
Попробовал улучшить приведённые выше неравенства. Пусть a, b, c, d - стороны выпуклого четырехугольника, а S - его площадь. Найти наилучшую оценку для площади вида

S =< F(a,b,c,d)

Чем замечателен оптимальный четырехугольник ( S=F(a,b,c,d) ) ?


Вписан в окружность.

Мне вот интересно, а обобщается ли этот результат на выпуклые многоугольники с числом сторон > 4? Всегда ли оптимальный многоугольник окажется вписанным в окружность?
номер сообщения: 49-2-1336

284

azur

левый 2506

09.11.2008 | 11:53:55
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK: Мне вот интересно, а обобщается ли этот результат на выпуклые многоугольники с числом сторон > 4? Всегда ли оптимальный многоугольник окажется вписанным в окружность?

Если взять вписанный многоугольник и, закрепив дуги за сторонами, начать его деформировать, то образованная дугами фигура будет иметь меньшую площадь, чем начальный круг (при равном периметре наибольшую площадь имеет круг). Поскольку площадь секторов остается неизменной, значит, уменьшается площадь многоугольника.
номер сообщения: 49-2-1337

285

MikhailK

1 разряд

09.11.2008 | 22:08:10
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
azur:
MikhailK: Мне вот интересно, а обобщается ли этот результат на выпуклые многоугольники с числом сторон > 4? Всегда ли оптимальный многоугольник окажется вписанным в окружность?

Если взять вписанный многоугольник и, закрепив дуги за сторонами, начать его деформировать, то образованная дугами фигура будет иметь меньшую площадь, чем начальный круг (при равном периметре наибольшую площадь имеет круг). Поскольку площадь секторов остается неизменной, значит, уменьшается площадь многоугольника.

Красивое доказательство. Я пришёл к аналогичному выводу путём значительно более громоздких рассуждений.

Далее для яйцеголовых. Нашёл россыпь соотношений в многоугольниках.

Dragutin Svrtan, Darko Veljan, Vladimir Volenec
Geometry of pentagons: from Gauss to Robbins
An almost forgotten gem of Gauss tells us how to compute the area of a pentagon by just going around it and measuring areas of each vertex triangles (i.e. triangles whose vertices are three consecutive vertices of the pentagon). We give several proofs and extensions of this beautiful formula to hexagon etc. and consider special cases of affine--regular polygons.
The Gauss pentagon formula is, in fact, equivalent to the Monge formula which is equivalent to the Ptolemy formula.
On the other hand, we give a new proof of the Robbins formula for the area of a cyclic pentagon in terms of the side lengths, and this is a consequence of the Ptolemy formula. The main tool is simple: just eliminate from algebraic equations, via resultants. By combining Gauss and Robbins formulas we get an explicit rational expression for the area of any cyclic pentagon. So, after centuries of geometry of triangles and quadrilaterals, we arrive to the nontrivial geometry of pentagons.


Гаусса знают все, а Роббинс написал интересную работу

D. P. Robbins, Discrete Comp. Geometry 12, 223–236 (1994).
Areas of polygons inscribed in a circle
Желающим могу прислать.
номер сообщения: 49-2-1338

286

azur

левый 2506

10.11.2008 | 14:24:40
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK:
azur:
MikhailK: Мне вот интересно, а обобщается ли этот результат на выпуклые многоугольники с числом сторон > 4? Всегда ли оптимальный многоугольник окажется вписанным в окружность?

Если взять вписанный многоугольник и, закрепив дуги за сторонами, начать его деформировать, то образованная дугами фигура будет иметь меньшую площадь, чем начальный круг (при равном периметре наибольшую площадь имеет круг). Поскольку площадь секторов остается неизменной, значит, уменьшается площадь многоугольника.

Красивое доказательство. Я пришёл к аналогичному выводу путём значительно более громоздких рассуждений.

Неправильно написал, не "секторов", а "сегментов" ..
Там есть еще небольшая деталь - при деформации, когда из вписанного многоугольника мы получаем любой другой (но также выпуклый), пересечение "прикрепленных" сегментов невозможно. Так что уменьшение площади идет только за счет многоугольника ..
MikhailK: D. P. Robbins, Discrete Comp. Geometry 12, 223–236 (1994).
Areas of polygons inscribed in a circle
Желающим могу прислать.

Если не затруднит, Михаил ..
номер сообщения: 49-2-1339

287

iourique

10.11.2008 | 22:05:51

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
MikhailK: Попробовал улучшить приведённые выше неравенства. Пусть a, b, c, d - стороны выпуклого четырехугольника, а S - его площадь. Найти наилучшую оценку для площади вида
S =< F(a,b,c,d)
Чем замечателен оптимальный четырехугольник ( S=F(a,b,c,d) ) ?


я тут по ходу дела заинтересовался вопросом: как, при заданных a, b и c, выбрать d, чтобы максимизировать F(a,b,c,d)?

Получил следующий ответ:
d = 2r*cos(1/3*arccos(abc/r^3)), r = sqrt((a^2 + b^2 + c^2)/3).

p.s. d при этом является диаметром описанной окружности...
номер сообщения: 49-2-1340

288

MikhailK

1 разряд

11.11.2008 | 22:38:11
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
iourique:
я тут по ходу дела заинтересовался вопросом: как, при заданных a, b и c, выбрать d, чтобы максимизировать F(a,b,c,d)?

Получил следующий ответ:
d = 2r*cos(1/3*arccos(abc/r^3)), r = sqrt((a^2 + b^2 + c^2)/3).


iourique:
p.s. d при этом является диаметром описанной окружности...

Этот результат легко обобщается на случай n-угольника. Для этого нужно склеить два одинаковых n-угольника по той стороне, которая не является фиксированной. Теперь достаточно максимизировать площадь получившегося (2n-2)-угольника. Очевидно, что сторона по которой склеены n-угольники окажется диаметром описанной окружности.
номер сообщения: 49-2-1341

289

Grigoriy

22.11.2008 | 19:27:33

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Вроде решил задачу со степенями двойки - но совсем не так, как юрик и данки. А в стиле Гильбертовского доказательства теоремы о базисе
Пусть нет бесконечного предела. Тогда существует предел А минимума суммы цифр и он очевидно достигается на бесконечном числе значений.
Рассмотрим теперь функцию f(k) - минимум суммы последних k цифр. Она очевидно стабилизируется со значением А после некоторого M. Причём минимум реализуется для всех n > M уже на последних М цифрах( т к иначе их сумма меньше А, что невозможно - ввиду неравенства нулю последней цифры). Но это значит, что цифр после М уже нет - что тоже очевидно неверно.
А задача заинтересовала в значительной мере потому, что напомнила пожалуй самую сложную из мной решеённых в жизни :-) - доказать, что существует бесконечное число n таких, что сумма цифр у 2 в степени n больше чем у 2 в степени (n+1)
номер сообщения: 49-2-1342

290

iourique

23.11.2008 | 00:59:37

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Grigoriy: Вроде решил задачу со степенями двойки - но совсем не так, как юрик и данки. А в стиле Гильбертовского доказательства теоремы о базисе
Пусть нет бесконечного предела. Тогда существует предел А минимума суммы цифр и он очевидно достигается на бесконечном числе значений.
Рассмотрим теперь функцию f(k) - минимум суммы последних k цифр. Она очевидно стабилизируется со значением А после некоторого M. Причём минимум реализуется для всех n > M уже на последних М цифрах( т к иначе их сумма меньше А, что невозможно - ввиду неравенства нулю последней цифры). Но это значит, что цифр после М уже нет - что тоже очевидно неверно.
А задача заинтересовала в значительной мере потому, что напомнила пожалуй самую сложную из мной решеённых в жизни :-) - доказать, что существует бесконечное число n таких, что сумма цифр у 2 в степени n больше чем у 2 в степени (n+1)


Grigoriy, а где Вы используете тот факт, что мы смотрим на последовательность степеней двойки? Или Вы для всех последовательностей доказали ?
номер сообщения: 49-2-1343

291

Grigoriy

23.11.2008 | 01:11:43

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Это используется в 2-х местах:
1. Последняя цифра неравна нулю.
2. Для любого k последовательность последних k цифр периодична
Оба эти факта верны для любой последовательности степеней, коме стeпеней десятки, т е моё д-во, если оно верно - верно и для любого числа
номер сообщения: 49-2-1344

292

Grigoriy

23.11.2008 | 03:41:34

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Надо ещё раз продумать.Дело в том, что в моём д-ве - и это его ключевой пункт - из абстрактных соображений о монотонности функции - получается отсутствие лакун в последних цифрах. Что очень странно.
номер сообщения: 49-2-1345

293

iourique

23.11.2008 | 05:59:35

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Grigoriy: ... самую сложную из мной решеённых в жизни :-) - доказать, что существует бесконечное число n таких, что сумма цифр у 2 в степени n больше чем у 2 в степени (n+1)


Предположим, что это не так. Тогда найдется число k такое, что S(n+1) > S(n) (равенство невозможно) для любого n >= 6k. Тогда S(6k) = 9r+1, S(6k+1)>=9r+2, S(6k+2)>=9r+4, S(6k+3)>=9r+8, S(6k+4)>=9(r+1) + 7, S(6k+5)>=9(r+2)+5, S(6k+6)>=9(r+3) + 1 = S(6k) + 27. Получается, что S(6t)>=27t - C для достаточно больших t. С другой стороны, S(6t) <= 9*lg(2^(6t)) = 54t * lg 2 < 18t. Противоречие.
номер сообщения: 49-2-1346

294

Grigoriy

23.11.2008 | 16:53:04

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
:-) Я кстати тоже решил её довольно быстро - часа за 2. Что меня удивляет - ибо решение - комбинация 2-х несвязанных идей, причём если одна - професcиональная и приходит в голову сразу, то 2-ая выглядит совершенно немотивированной и как минимум одна из спектра возможных - почему остатки именно по модулю 9? Во всяком случае, многие куда более вроде простые задачи решались куда как дольше :-)
номер сообщения: 49-2-1347

295

Sad_Donkey

КМС

27.11.2008 | 23:40:31

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Для лучшей сохранности большого куска сливочного масла, хозяйка поместила его в кастрюлю с водой. (но не "утопила" - масло плавает). Какую форму нужно придать этому куску масла для того, чтобы он лучше сохранился?

__________________________
Требуйте долива пива после отстоя пены
номер сообщения: 49-2-1348

296

Roger

28.11.2008 | 03:59:29

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Sad_Donkey: Для лучшей сохранности большого куска сливочного масла, хозяйка поместила его в кастрюлю с водой. (но не "утопила" - масло плавает). Какую форму нужно придать этому куску масла для того, чтобы он лучше сохранился?

Мыльные пузыри на воде занимаются тем же - минимизируют поверхность при заданном объёме.
номер сообщения: 49-2-1349

297

Однодворец

28.11.2008 | 04:11:19

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Sad_Donkey: Для лучшей сохранности большого куска сливочного масла, хозяйка поместила его в кастрюлю с водой. (но не "утопила" - масло плавает). Какую форму нужно придать этому куску масла для того, чтобы он лучше сохранился?


А какая связь формы куска масла и его сохранности?
номер сообщения: 49-2-1350

298

Roger

28.11.2008 | 09:27:09

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Однодворец: А какая связь формы куска масла и его сохранности?

Ну вот проходите Вы мимо кастрюли, и видите - плавает нечто, по форме напоминающее кусок масла. Его сохранность под угрозой. А вот если придать ему форму куска мыла...

PS Лучше всего придать ему форму жёлтой подводной лодки с полусферической рубкой.
номер сообщения: 49-2-1351

299

Sad_Donkey

КМС

28.11.2008 | 12:04:30

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Однодворец:
Sad_Donkey: Для лучшей сохранности большого куска сливочного масла, хозяйка поместила его в кастрюлю с водой. (но не "утопила" - масло плавает). Какую форму нужно придать этому куску масла для того, чтобы он лучше сохранился?


А какая связь формы куска масла и его сохранности?


Нужно минимизировать площадь поверхности куска масла, выступающей над водой.

__________________________
Требуйте долива пива после отстоя пены
номер сообщения: 49-2-1352

300

MikhailK

1 разряд

28.11.2008 | 12:22:01
Email

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Интересная задачка (спасибо Romus33)

http://molbiol.ru/forums/index.php?showtopic=76057

Дан конус (круговой). На него набрасываем петлю и тянем вдоль образующей (вдоль склона). Ясно, что если угол при вершине мал (конус острый), то петля не соскальзнет. Если же угол совсем тупой, то петля не удержится. Чему равен критический угол (в градусах) при вершине конуса, т.е. такой угол, что с более острого конуса петля не соскальзнет, а с более тупого соскальзнет. Трением пренебречь.


Интересное обсуждение задачки можно найти по ссылке приведенной выше. Кроме решения самой задачи интересно было бы найти ответ на два дополнительных вопроса
1) Какова форма петли на конусе? Можно ли эту кривую просто описать?
2) Можно ли написать функционал, минимизация которого даёт уравнение на форму кривой?

Добавлено

Задача оказалась простой. Забавно, что те дополнительные вопросы, которые я задал, являются фактически ключевыми. Предлагаю третий дополнительный вопрос
3) Пусть петелька дважды обматывается вокруг вершины конуса. Чему теперь равен критический угол при вершине конуса?

PS На форуме molbiol в разделе Сборник задач много любопытных задачек.
номер сообщения: 49-2-1353

301

Sad_Donkey

КМС

28.11.2008 | 12:49:41

все его сообщения:
за день, за месяц,
за все время
Roger:
Однодворец: А какая связь формы куска масла и его сохранности?

Ну вот проходите Вы мимо кастрюли, и видите - плавает нечто, по форме напоминающее кусок масла. Его сохранность под угрозой. А вот если придать ему форму куска мыла...

PS Лучше всего придать ему форму жёлтой подводной лодки с полусферической рубкой.


Да, конечно...
Я бы сказал: "форму полушария" и добавил что-нибудь относительно радиуса этого полушария...
Задачка - простая; хотелось "поддержать жизнь" в этой теме...

__________________________
Требуйте долива пива после отстоя пены
номер сообщения: 49-2-1354